Родился в поселке Минеральные Воды, (ныне город в Ставропольском крае) в семье служащего. Позднее семья жила в Костроме, затем переехала в село Есиплево современного Заволжского района Ивановской области.
Отец Героя, начальник есиплевской почты Василий Прыгунов принимал участие в событиях лета 1919 года, когда банда зеленых расправлялась с представителями советской власти. Александр был связным между отцом и начальником милиции Василием Николаевичем Рыбиным.
В 1921 году семья Прыгуновых переехала в Красные Баки Горьковской (ныне Нижегородской) области. Окончив 10 классов, А.В. Прыгунов работал учителем физкультуры в Краснобаковской средней школе. В 1936 году получил диплом инженера-экономиста Ленинградского инженерно- строительного института.
В Красную Армию призван в августе 1941 года Усть-Усинским райвоенкоматом Коми АССР. С этого же времени на фронте. Воевал командиром сапёрного взвода на Карельском фронте.
В конце сентября 1943 года А.В. Прыгунов - командир саперной роты 28-го отдельного штурмового инженерно-саперного батальона (6-я штурмовая инженерно-саперная бригада, 40-я армия, Воронежский фронт).
Кандидат в члены ВКП(б) старший лейтенант Александр Прыгунов при форсировании Днепра успешно обеспечивал переправу личного состава, артиллерии и боеприпасов наступающих частей. Погиб как герой.
Александр Васильевич Прыгунов был похоронен 30 сентября на левом берегу Днепра у деревни Яшники Мироновского района Киевской.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, старшему лейтенанту Прыгунову Александру Васильевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза, он награжден Орденом Ленина.